ジョン・スティルウェル『逆数学 定理から公理を「証明」する』

大学に入った時、まず、最初に数学科で習うのが、解析学線形代数なのだが、その解析学の教科書として使っていたのが、

杉浦光夫『解析入門1』
解析入門 ?(基礎数学2)

であった。そして、この最初の方の章の最後の練習問題で、いわゆる

  • 実数論

と呼ばれるような話題が取り上げられていて、つまり、実数の「定義」。例えば、デデキント・カットの定理が、確か、10個以上の(解析学の)定理と「同値」であることを示せ、といった問題が書いてあって、その時思ったのは、つまり、ようするにこれは本当は

  • 実数論

という、群論、体論、自然数論、有理数論、と同列にあるんだけれど、これから、この本で展開していく「解析学」においては、実数というのは、ほぼ

  • 自明

のものとして扱うから、ここでは補題(レンマ)としてしか扱わないよ、という意味だったのだろう、と思ったわけだ。
そして、そのことはもちろん正しいわけだが、かといって、わざわざ、「実数論」と銘打って、一冊の本にしているものも、はるか昔のものを除けば、まず見かけなかったわけで、というのは、結局それって「解析学」だよね、っていうコンセンサスがあるから、まあ、それだけ

  • 抜き出して

一冊の本にするっていうのも、やっぱり変だ、っていう感覚があったからだと思うわけである。
ようするに、ひとたび「解析学」っていうことで、教科書にしようとすると、教えなきゃって思うような

  • 重要な定理

が山のようにあって、そんな最初の「実数論」で本の大半を消費しているわけにはいかなかった、ということなんだと思う。
しかし、もう少し、「教育カリキュラム」的な視点から考えてみると、違った観点が見えてくるように思われる。
それは、最初にも書いたように、大学の教養過程の数学が、解析学線形代数と分かれていることからも分かるように、数学の

  • 分野

も、解析学系と代数系(あと、幾何学系もあるのだろうが)って、ひとまず分かれていて、そうすると、「実数論」の証明のアプローチなんかは、解析学のモチーフなんですよね。少なくとも、代数系にとどまらない。その辺りで、

  • 代数系の専門の先生が扱うのは、勝手が違う

といったような「役割分担」のような感覚が働くのだろう、と思われるわけである。
掲題の本は、数学基礎論の本ではあるのだが、この本の関心の範囲で、数学の歴史を振り返るところから始めている。
古代ギリシアユークリッド幾何学から始まった近代数学は、最初の問題として

  • 平行線の公理

が関心を集めた。

多くの数学者は、平行線の公理をユークリッドの体系の「欠陥」だと考えた。

つまり、この平行線の公理は、他の公理から導かれるのではないのか、と考えていたわけである。しかし、平行線の公理の「反例」を加えた「モデル」が容易に作れることが発見されるなどして(これが非ユークリッド幾何学ということになる)、この平行線の公理が他の公理から「独立」していることなどが分かってくる。
ところで、ユークリッド幾何学の「算術化(=代数化)」は、デカルトから始まったとされているが、それは三次元実座標で、ニュートンのように「絶対空間」をイメージする、というやり方と考えていい。そして、ヒルベルトはこの「古典的なユークリッド幾何学(定規とコンパスで作業をしていく)」と「代数学」との対応を以下のように整理する:

  • 結合の公理
  • 順序の公理
  • 合同の公理
  • 円の交点の公理
  • アルキメデスの公理
  • 完備性の公理

(これらは、アルキメデスと、完備性を除けば、定規とコンパスの話で、ようするに古典的な幾何学の公理。左記の二つは実数の性質の関係で用意されたもので、ようするに、実数と、完備アルキメデス順序体が、同値であることを言っている。)
これによって、以下が証明できる:

ある定理が平行線の公理と同値だという主張に正確な意味を与えることができる。それは、ヒルベルトの公理から平行線の公理を除いた基礎理論で、平行線の公理とその公理の同値性が証明可能だということである。(1.1節で述べたような)平行線の公理と同値だと考えてきた定理はいずれも、この意味で同値である。

上記の、1.1節の話とは以下である:

  • 長方形の存在
  • 異なる大きさの相似な三角形の存在
  • 三角形の内角の和はπに等しい
  • 共線でない3点は円周上にある

さて。似たようなことは、以下のような観点からも、数学に現れる:

集合N、Z、Qは、それらの要素を数え上げることで可能無限になりうるこを示した。これは言い換えると、すべての要素がどこかの段階では必ず現れるような手順を用いて

  • 1番目の要素、2番目の要素、3番目の要素、...

というように集合の要素を列として順序づけられるということである。カントルは、Rにはこのような順序づけが存在しないこと、すなわち、Rが非可算であることを示した。

(これが、いわゆる、対角線論法であるが。)
このことから、カントールは上記の可算順序付けより少し弱い、以下の順序付け「整列順序」が全ての集合において「可能」であることを、一つの公理として(つまり、整列可能定理として)提示する:

カントルは、集合Sの空でない任意の部分集合Tが最小元をもつような順序づけがあるとき、Sを整列集合とよんだ。

ところで、この整列可能定理は、選択公理ACと、ZFにおいて同値なことが知られており、また、ZFにおいて、ACは独立であることが知られている(また他にも、ZFにおいてACと同値な定理が知られている)わけだが、この関係は、上記のユークリッド幾何学における、平行線の公理と同じような、ある種の

  • 階層的

な関係となっていることが分かるであろう。
さて、これと同じようなアイデアで、解析学を(つまり実数の性質を)「階層化」できるのではないか、というのが、掲題の本の主題である「逆数学」である:

  • RCA_0 で次の定理を証明できる。

中間値の定理

  • WKL_0 で次の定理を証明できる。

区間列に対するハイネ-ボレルの定理
⇔ 一様連続性定理
極値定理
⇔ 連続関数のリーマン積分可能性
⇔ ブラウワーの不動点定理
ジョルダンの閉曲線定理
(同値性は RCA_0 の中で証明可能)

  • ACA_0 で次の定理を証明できる。

ケーニヒの補題
⇔ 数列に対するボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理
⇔ 数列に対する最小上界原理
⇔ コーシーの収束判定条件
(同値性は ACA_0 の中で証明可能)

基本的なアイデアとしては、2階算術を使うわけで、ここでの実数は、下方デデキント・カットのこと(つまり、有理数の部分集合)と定義して、ただし、有理数自然数でコード化できたわけだから、結局は、自然数自然数の部分集合だけを元と考える、自然数上の計算可能関数から、公理系を始めればいい、ということが分かる。そうすると、この話は、たんに対象が、自然数から、形式体系に変わっただけで、まったく同じわけである。つまり、この形式体系の、それぞれの計算可能関数って、結局は

ということなのだから、同じように「対角線論法」が使えるんだよねw

このことからすぐさま、算術的に定義可能な集合すべてからなる列を算術的に定義することは、これらの集合を定義する論理式をどうにかしてすべて列挙することができたとしても不可能であることがわかる。

さて。最初の話に戻ると、杉浦先生の『解析入門1』の練習問題の、10個以上あった、実数の定義の同値問題は、それだけだとつまらなくて、そこにある

  • 階層

が、こういった形で示されることを求められていた、ということになるのであろう。
数学の証明を見たときに、それが、どういった定理を使って証明されているのかを見返すことで、その定理の

  • 根底性

が分かる。より基本的な公理しか使わずに証明できるのか。それとも、より独立性の高い公理によって、やっと証明できるのか。その深さを、たんに数学の証明を読んでいるだけの人は気にもしないかもしれないが、実際に、新しい定理を探している人は、細かく意識している。そういう意味では、こういった、ユークリッド幾何学における、平行線の公理に代表されるような、数学の考察は、はるか昔からの、数学の研究スタイルとしては、

と言ってもいいものがあるのかもしれないが、逆に言ってしまえば、こういった態度は、究極の数学の「アマチュアリズム化」。ほとんど、数学の最終形態の態度と言えるのかもしれない...。

逆数学:定理から公理を「証明」する

逆数学:定理から公理を「証明」する